Dominios y rangos de funciones
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Antes de evaluar o graficar una función, hay que saber para qué valores de entrada está definida y qué valores de salida puede producir.
Determinar dominios y rangos es esencial en la PAA del College Board.
A continuación se presentan las reglas y técnicas para identificar el dominio y rango de los tipos de funciones más comunes.
Por defecto, el dominio es todo ℝ (todos los reales), pero ciertas operaciones imponen restricciones que debemos identificar.
Raíz cuadrada de negativo: el radicando debe ser mayor o igual a cero. Ejemplo: f(x) = √(9 − x²). Se resuelve 9 − x² ≥ 0, dando −3 ≤ x ≤ 3.
Logaritmo de no positivo: el argumento debe ser estrictamente positivo. Ejemplo: f(x) = log(x + 4). Se necesita x + 4 > 0, así que x > −4.
Cuando hay varias restricciones, se toma la intersección de todas.
Ejemplo: [2, 5) significa todos los x tales que 2 ≤ x < 5. El símbolo ∞ siempre lleva paréntesis porque no es un número.
Para excluir puntos aislados se usa la notación de diferencia: ℝ \ {3} significa todos los reales excepto 3.
La unión de intervalos se escribe con ∪. Ejemplo: (−∞, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (2, +∞) excluye −2 y 2.
Para funciones lineales f(x) = mx + b (con m ≠ 0), el rango es siempre todo ℝ, ya que la recta se extiende sin límite.
Para cuadráticas f(x) = ax² + bx + c, el vértice determina el valor extremo. Si a > 0, el rango es [y_vértice, +∞). Si a < 0, es (−∞, y_vértice].
Ejemplo: f(x) = x² − 6x + 11. Vértice en x = 3, f(3) = 2. Como a = 1 > 0, el rango es [2, +∞).
Logarítmicas f(x) = log_a(x): rango (−∞, +∞). Pueden tomar cualquier valor real.
Valor absoluto f(x) = |x|: rango [0, +∞). Nunca es negativo.
Trigonométricas: sen(x) y cos(x) tienen rango [−1, 1]. tan(x) tiene rango (−∞, +∞).
Funciones inversas trigonométricas: arcsen tiene rango [−π/2, π/2], arccos tiene rango [0, π].
Ejemplo: f(x) = √(x) y g(x) = 4 − x². Entonces f(g(x)) = √(4 − x²). Se necesita 4 − x² ≥ 0, o sea −2 ≤ x ≤ 2. Dominio: [−2, 2].
Con práctica, estos análisis se vuelven rápidos e intuitivos. Te deseamos mucho éxito en tu Preparación PAA.
Determinar dominios y rangos es esencial en la PAA del College Board.
A continuación se presentan las reglas y técnicas para identificar el dominio y rango de los tipos de funciones más comunes.
Dominio: valores de entrada permitidos
El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de x para los cuales la función está definida y produce un resultado real.Por defecto, el dominio es todo ℝ (todos los reales), pero ciertas operaciones imponen restricciones que debemos identificar.
Restricciones del dominio
División por cero: si la función tiene denominador, se iguala a cero y se excluyen esos valores. Ejemplo: f(x) = 1/(x² − 4). Se excluyen x = 2 y x = −2.Raíz cuadrada de negativo: el radicando debe ser mayor o igual a cero. Ejemplo: f(x) = √(9 − x²). Se resuelve 9 − x² ≥ 0, dando −3 ≤ x ≤ 3.
Logaritmo de no positivo: el argumento debe ser estrictamente positivo. Ejemplo: f(x) = log(x + 4). Se necesita x + 4 > 0, así que x > −4.
Cuando hay varias restricciones, se toma la intersección de todas.
Notación de intervalos
Los dominios se expresan con intervalos: corchetes [ ] indican que el extremo se incluye; paréntesis ( ) indican que se excluye.Ejemplo: [2, 5) significa todos los x tales que 2 ≤ x < 5. El símbolo ∞ siempre lleva paréntesis porque no es un número.
Para excluir puntos aislados se usa la notación de diferencia: ℝ \ {3} significa todos los reales excepto 3.
La unión de intervalos se escribe con ∪. Ejemplo: (−∞, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (2, +∞) excluye −2 y 2.
Rango: valores de salida posibles
El rango es el conjunto de todos los valores de y que la función realmente produce al recorrer todo su dominio.Para funciones lineales f(x) = mx + b (con m ≠ 0), el rango es siempre todo ℝ, ya que la recta se extiende sin límite.
Para cuadráticas f(x) = ax² + bx + c, el vértice determina el valor extremo. Si a > 0, el rango es [y_vértice, +∞). Si a < 0, es (−∞, y_vértice].
Ejemplo: f(x) = x² − 6x + 11. Vértice en x = 3, f(3) = 2. Como a = 1 > 0, el rango es [2, +∞).
Rangos de funciones especiales
Exponenciales f(x) = aˣ (a > 0, a ≠ 1): rango (0, +∞). Nunca toman el valor cero ni negativos.Logarítmicas f(x) = log_a(x): rango (−∞, +∞). Pueden tomar cualquier valor real.
Valor absoluto f(x) = |x|: rango [0, +∞). Nunca es negativo.
Trigonométricas: sen(x) y cos(x) tienen rango [−1, 1]. tan(x) tiene rango (−∞, +∞).
Funciones inversas trigonométricas: arcsen tiene rango [−π/2, π/2], arccos tiene rango [0, π].
Funciones compuestas
Para f(g(x)), el dominio se determina en dos pasos: primero se halla el dominio de g(x) y luego se verifica que g(x) pertenezca al dominio de f.Ejemplo: f(x) = √(x) y g(x) = 4 − x². Entonces f(g(x)) = √(4 − x²). Se necesita 4 − x² ≥ 0, o sea −2 ≤ x ≤ 2. Dominio: [−2, 2].
Cierre
Identificar dominios y rangos es el primer paso para entender cualquier función. Busca las restricciones de denominador, raíz y logaritmo, y analiza el comportamiento de la función para determinar su rango.Con práctica, estos análisis se vuelven rápidos e intuitivos. Te deseamos mucho éxito en tu Preparación PAA.