Combinaciones Y Permutaciones
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Combinaciones y permutaciones son técnicas de conteo que responden a la pregunta: ¿de cuántas formas se puede elegir o disponer un grupo de elementos?
Estos conceptos son fundamentales en la PAA del College Board.
A continuación se presentan las diferencias entre permutaciones y combinaciones, sus fórmulas y los criterios para saber cuándo aplicar cada una.
Ejemplo: Si hay 3 tipos de cono y 4 sabores de helado, el total de combinaciones posibles es 3 × 4 = 12.
Esta regla se extiende a cualquier número de etapas: si hay k etapas con n₁, n₂, ..., nₖ opciones, el total es n₁ × n₂ × ... × nₖ.
Regla práctica: cargos, contraseñas, filas → permutaciones. Comités, equipos, selecciones → combinaciones.
Valores útiles: 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040, 10! = 3.628.800.
El factorial aparece en todas las fórmulas de conteo porque representa el total de formas de ordenar n objetos distintos.
Ejemplo: Ordenar 4 libros en una repisa: 4! = 24 formas.
Permutación parcial: de n objetos, elegir k y ordenarlos → P(n,k) = n!/(n−k)!.
Ejemplo: De 8 atletas, asignar medalla de oro, plata y bronce: P(8,3) = 8 × 7 × 6 = 336.
Permutación con repetición: si hay elementos repetidos, se divide entre los factoriales de las repeticiones.
Ejemplo: Permutar las letras de BANANA (6 letras, A se repite 3 veces, N se repite 2 veces): 6!/(3! × 2!) = 60.
Ejemplo: 5 personas en una mesa circular: (5−1)! = 4! = 24 arreglos.
Si las reflexiones también se consideran iguales (como en un collar), se divide entre 2: (n−1)!/2.
Fórmula: C(n,k) = n!/[k!(n−k)!].
Ejemplo: Elegir 3 estudiantes de un grupo de 10 para un comité: C(10,3) = 10!/(3! × 7!) = 120.
Propiedad de simetría: C(n,k) = C(n, n−k). Elegir 3 de 10 es lo mismo que dejar fuera 7 de 10.
Ejemplo: De 10 personas, elegir 3 para el equipo A y luego 2 de los restantes para el equipo B.
Paso 1: C(10,3) = 120. Paso 2: C(7,2) = 21. Total: 120 × 21 = 2.520.
Si los equipos fueran intercambiables (sin etiqueta), se dividiría entre 2! para evitar contar doble.
Ejemplo: Un comité de 5 personas que debe incluir a Juan. Se fija a Juan y se eligen 4 de los restantes 9: C(9,4) = 126.
Para restricciones de exclusión (que NO incluya a Juan): se eligen 5 de los otros 9: C(9,5) = 126.
Para calcular "al menos uno": total − casos sin ninguno. Es más rápido que sumar todos los casos válidos.
Practica con problemas de comités, contraseñas, arreglos circulares y selecciones con restricciones para dominar estos conceptos. Te deseamos mucho éxito en tu Preparación PAA.
Estos conceptos son fundamentales en la PAA del College Board.
A continuación se presentan las diferencias entre permutaciones y combinaciones, sus fórmulas y los criterios para saber cuándo aplicar cada una.
Principio fundamental de conteo
Cuando un proceso se realiza en etapas consecutivas, el total de resultados se obtiene multiplicando las opciones de cada etapa.Ejemplo: Si hay 3 tipos de cono y 4 sabores de helado, el total de combinaciones posibles es 3 × 4 = 12.
Esta regla se extiende a cualquier número de etapas: si hay k etapas con n₁, n₂, ..., nₖ opciones, el total es n₁ × n₂ × ... × nₖ.
¿Importa el orden?
La diferencia clave: si intercambiar elementos genera un resultado distinto, es una permutación. Si no, es una combinación.Regla práctica: cargos, contraseñas, filas → permutaciones. Comités, equipos, selecciones → combinaciones.
Factorial
El factorial de n (escrito n!) es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n: n! = n × (n−1) × ... × 2 × 1.Valores útiles: 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040, 10! = 3.628.800.
El factorial aparece en todas las fórmulas de conteo porque representa el total de formas de ordenar n objetos distintos.
Permutaciones
Permutación total: ordenar n objetos diferentes en todas las posiciones → n! arreglos.Ejemplo: Ordenar 4 libros en una repisa: 4! = 24 formas.
Permutación parcial: de n objetos, elegir k y ordenarlos → P(n,k) = n!/(n−k)!.
Ejemplo: De 8 atletas, asignar medalla de oro, plata y bronce: P(8,3) = 8 × 7 × 6 = 336.
Permutación con repetición: si hay elementos repetidos, se divide entre los factoriales de las repeticiones.
Ejemplo: Permutar las letras de BANANA (6 letras, A se repite 3 veces, N se repite 2 veces): 6!/(3! × 2!) = 60.
Permutaciones circulares
Cuando n personas se sientan en una mesa redonda, las rotaciones dan el mismo arreglo. El total es (n−1)!.Ejemplo: 5 personas en una mesa circular: (5−1)! = 4! = 24 arreglos.
Si las reflexiones también se consideran iguales (como en un collar), se divide entre 2: (n−1)!/2.
Combinaciones
La combinación C(n,k) cuenta cuántos grupos de k elementos se pueden elegir de un total de n, sin importar el orden.Fórmula: C(n,k) = n!/[k!(n−k)!].
Ejemplo: Elegir 3 estudiantes de un grupo de 10 para un comité: C(10,3) = 10!/(3! × 7!) = 120.
Propiedad de simetría: C(n,k) = C(n, n−k). Elegir 3 de 10 es lo mismo que dejar fuera 7 de 10.
Problemas con múltiples etapas
Muchos problemas combinan varias selecciones. Se resuelve cada etapa y se multiplican los resultados.Ejemplo: De 10 personas, elegir 3 para el equipo A y luego 2 de los restantes para el equipo B.
Paso 1: C(10,3) = 120. Paso 2: C(7,2) = 21. Total: 120 × 21 = 2.520.
Si los equipos fueran intercambiables (sin etiqueta), se dividiría entre 2! para evitar contar doble.
Problemas con restricciones
Cuando hay condiciones obligatorias, se fija primero lo restringido y se cuenta el resto libremente.Ejemplo: Un comité de 5 personas que debe incluir a Juan. Se fija a Juan y se eligen 4 de los restantes 9: C(9,4) = 126.
Para restricciones de exclusión (que NO incluya a Juan): se eligen 5 de los otros 9: C(9,5) = 126.
Para calcular "al menos uno": total − casos sin ninguno. Es más rápido que sumar todos los casos válidos.
Cierre
Distinguir si el orden importa es la clave para elegir entre permutaciones y combinaciones. Las fórmulas son directas una vez identificado el tipo de problema.Practica con problemas de comités, contraseñas, arreglos circulares y selecciones con restricciones para dominar estos conceptos. Te deseamos mucho éxito en tu Preparación PAA.