Relaciones de congruencia y semejanza
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Dos figuras pueden tener la misma forma, el mismo tamaño o ambas cosas. Reconocer estas relaciones permite resolver problemas de proporcionalidad, medición indirecta y demostración geométrica.
Estos conceptos aparecen con frecuencia en la PAES del DEMRE.
A continuación se presentan los criterios y aplicaciones de la congruencia y la semejanza de figuras geométricas.
No es necesario verificar los seis elementos. Los criterios de congruencia permiten asegurarla con solo tres datos:
LLL: Los tres pares de lados correspondientes son iguales.
LAL: Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos son iguales.
ALA: Dos ángulos y el lado comprendido entre ellos son iguales.
HL: En triángulos rectángulos, la hipotenusa y un cateto son iguales.
La razón de semejanza k es el factor por el que se multiplican los lados del triángulo menor para obtener los del mayor.
LLL proporcional: Si los tres pares de lados son proporcionales (a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ = k), son semejantes.
LAL proporcional: Si dos pares de lados son proporcionales y el ángulo comprendido es igual, son semejantes.
Los lados correspondientes guardan la misma proporción: a'/a = b'/b = c'/c = k.
Los perímetros guardan la misma razón: P'/P = k.
Las áreas guardan razón cuadrática: A'/A = k².
Ejemplo: Si k = 3 (el segundo es 3 veces más grande), su perímetro es 3 veces mayor y su área es 9 veces mayor.
Ejemplo: Un poste proyecta una sombra de 6 m y una persona de 1,80 m proyecta una sombra de 2,4 m. Se forman triángulos semejantes:
altura del poste / 6 = 1,80 / 2,4. Altura del poste = 1,80 × 6 / 2,4 = 4,5 m.
Si la bisectriz del ángulo A divide al lado a en segmentos m y n, entonces m/n = b/c.
Ejemplo: En un triángulo con lados b = 8 y c = 6, la bisectriz divide al lado opuesto (de longitud 14) en m = 8 y n = 6.
Dominar estas relaciones te permite resolver problemas de proporcionalidad y medición con eficiencia. Te deseamos mucho éxito en tu Preparación PAES.
Estos conceptos aparecen con frecuencia en la PAES del DEMRE.
A continuación se presentan los criterios y aplicaciones de la congruencia y la semejanza de figuras geométricas.
Congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes cuando tienen exactamente la misma forma y el mismo tamaño. Todos sus lados y ángulos correspondientes son iguales.No es necesario verificar los seis elementos. Los criterios de congruencia permiten asegurarla con solo tres datos:
LLL: Los tres pares de lados correspondientes son iguales.
LAL: Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos son iguales.
ALA: Dos ángulos y el lado comprendido entre ellos son iguales.
HL: En triángulos rectángulos, la hipotenusa y un cateto son iguales.
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes cuando tienen la misma forma pero pueden diferir en tamaño. Sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados son proporcionales.La razón de semejanza k es el factor por el que se multiplican los lados del triángulo menor para obtener los del mayor.
Criterios de semejanza
AA (Ángulo-Ángulo): Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro, los triángulos son semejantes. Es el criterio más utilizado.LLL proporcional: Si los tres pares de lados son proporcionales (a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ = k), son semejantes.
LAL proporcional: Si dos pares de lados son proporcionales y el ángulo comprendido es igual, son semejantes.
Proporciones en triángulos semejantes
Si dos triángulos son semejantes con razón k, entonces:Los lados correspondientes guardan la misma proporción: a'/a = b'/b = c'/c = k.
Los perímetros guardan la misma razón: P'/P = k.
Las áreas guardan razón cuadrática: A'/A = k².
Ejemplo: Si k = 3 (el segundo es 3 veces más grande), su perímetro es 3 veces mayor y su área es 9 veces mayor.
Aplicación: medición indirecta
La semejanza permite medir alturas y distancias inaccesibles.Ejemplo: Un poste proyecta una sombra de 6 m y una persona de 1,80 m proyecta una sombra de 2,4 m. Se forman triángulos semejantes:
altura del poste / 6 = 1,80 / 2,4. Altura del poste = 1,80 × 6 / 2,4 = 4,5 m.
Teorema de la bisectriz
La bisectriz de un ángulo interior de un triángulo divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados:Si la bisectriz del ángulo A divide al lado a en segmentos m y n, entonces m/n = b/c.
Ejemplo: En un triángulo con lados b = 8 y c = 6, la bisectriz divide al lado opuesto (de longitud 14) en m = 8 y n = 6.
Cierre
La congruencia confirma que dos figuras son idénticas; la semejanza confirma que comparten forma. Ambos conceptos se apoyan en criterios que simplifican la verificación.Dominar estas relaciones te permite resolver problemas de proporcionalidad y medición con eficiencia. Te deseamos mucho éxito en tu Preparación PAES.