Crecimiento, periodicidad e intersecciones de funciones

Analizar el comportamiento de una función significa entender cómo crece, si se repite y dónde se cruza con otras curvas o con los ejes.
Estas habilidades son fundamentales en la prueba Saber 11 del ICFES.
A continuación se presentan los conceptos clave para interpretar funciones a partir de sus propiedades de crecimiento, periodicidad e intersecciones.

Crecimiento y decrecimiento

Una función es creciente en un intervalo si, al avanzar de izquierda a derecha, sus valores suben. Es decreciente si bajan.
Para determinarlo con cálculo, se usa la derivada: si f'(x) > 0, la función crece; si f'(x) < 0, decrece.
Los puntos donde f'(x) = 0 o no existe se llaman puntos críticos y marcan posibles cambios de comportamiento.
Ejemplo: Para f(x) = x² − 4x, la derivada es f'(x) = 2x − 4. Igualando a cero: x = 2. La función decrece en (−∞, 2) y crece en (2, +∞).

Máximos y mínimos

Un punto crítico donde la función pasa de crecer a decrecer es un máximo local. Si pasa de decrecer a crecer, es un mínimo local.
Se puede verificar con la segunda derivada: si f''(x) > 0 en el punto crítico, es un mínimo; si f''(x) < 0, es un máximo.
Ejemplo: f(x) = −x² + 6x − 5. f'(x) = −2x + 6 = 0 → x = 3. f''(x) = −2 < 0, así que x = 3 es un máximo. f(3) = −9 + 18 − 5 = 4. El máximo es (3, 4).

Periodicidad

Una función es periódica si repite sus valores después de un intervalo fijo llamado período (T).
Las funciones trigonométricas son el ejemplo principal: sen(x) y cos(x) tienen período 2π, mientras que tan(x) tiene período π.
Para f(x) = sen(kx), el período es T = 2π/k. A mayor valor de k, más rápido oscila la función.
Ejemplo: El período de f(x) = sen(3x) es T = 2π/3. El de g(x) = cos(x/2) es T = 2π/(1/2) = 4π.
La amplitud A indica la altura máxima de la oscilación. En f(x) = A·sen(kx) + D, el desplazamiento vertical D sube o baja la curva sin cambiar el período.

Intersecciones con los ejes

La intersección con el eje y se obtiene evaluando f(0). La intersección con el eje x (raíces o ceros) se halla resolviendo f(x) = 0.
Ejemplo: f(x) = x² − 5x + 6. Intersección con eje y: f(0) = 6, punto (0, 6). Raíces: x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0, puntos (2, 0) y (3, 0).
Para funciones cuadráticas, el discriminante b² − 4ac indica cuántas raíces reales hay: positivo → dos, cero → una, negativo → ninguna.

Intersección entre dos funciones

Dos funciones se intersecan donde sus valores son iguales, es decir, donde f(x) = g(x).
Se resuelve igualando las expresiones y despejando x. Los valores obtenidos se sustituyen en cualquiera de las funciones para hallar y.
Ejemplo: f(x) = x² y g(x) = 2x + 3. Igualando: x² = 2x + 3 → x² − 2x − 3 = 0 → (x − 3)(x + 1) = 0. Intersecciones en x = 3 y x = −1.

Asíntotas

Una asíntota es una recta a la que la función se acerca indefinidamente sin tocarla.
Asíntota vertical: ocurre donde el denominador se anula. Ejemplo: f(x) = 1/(x − 2) tiene asíntota vertical en x = 2.
Asíntota horizontal: describe el comportamiento cuando x → ±∞. Para f(x) = 1/x, la asíntota horizontal es y = 0.

Comparación de velocidades de crecimiento

Las funciones exponenciales (como 2ˣ) crecen más rápido que cualquier polinomio para valores grandes de x.
Las funciones logarítmicas (como ln(x)) crecen más lento que cualquier potencia positiva de x.
Orden de velocidad: logarítmica < polinómica < exponencial. Este orden es clave para analizar límites y comportamientos a largo plazo.

Cierre

Identificar crecimiento, periodicidad e intersecciones te permite construir una imagen completa del comportamiento de cualquier función.
La práctica con derivadas, ecuaciones y gráficas fortalece tu capacidad de análisis funcional. Te deseamos mucho éxito en tu Preparación Saber 11.