Representacion Grafica Y Algebraica de Funciones
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Una función puede describirse con una fórmula algebraica o con una gráfica, y saber pasar de una representación a la otra es una habilidad fundamental en matemáticas.
Este tema se evalúa constantemente en la prueba Saber 11 del ICFES.
A continuación se presentan las familias de funciones más importantes, sus ecuaciones y las características visuales que permiten identificarlas en una gráfica.
m (pendiente) controla la inclinación. b (intercepto y) indica dónde cruza el eje vertical.
Si m > 0, la recta sube. Si m < 0, baja. Si m = 0, es horizontal (función constante).
Si a > 0, la parábola abre hacia arriba (tiene un mínimo). Si a < 0, abre hacia abajo (tiene un máximo).
El vértice está en x = −b/(2a). Las raíces (donde cruza el eje x) se hallan con la fórmula general o factorizando.
Forma canónica: f(x) = a(x − h)² + k, donde (h, k) es el vértice. Esta forma facilita graficar la parábola.
Ejemplo: f(x) = 2(x − 3)² − 8. Vértice: (3, −8). Abre hacia arriba (a = 2 > 0). Raíces: 2(x − 3)² = 8 → (x − 3)² = 4 → x = 1 y x = 5.
Siempre tiene asíntota horizontal en y = 0 (nunca toca el eje x). El punto (0, a) es siempre parte de la gráfica.
Ejemplo: f(x) = 3·2ˣ. En x = 0: f(0) = 3. En x = 3: f(3) = 24. El crecimiento se acelera cada vez más.
Dominio: x > 0. Rango: todos los reales. Tiene asíntota vertical en x = 0.
Pasa por el punto (1, 0) siempre, ya que log_b(1) = 0. Crece lentamente comparada con las polinómicas.
La gráfica es una media parábola que crece cada vez más despacio. Pasa por (0, 0) y (1, 1).
Con transformaciones: f(x) = √(x − h) + k desplaza la gráfica h unidades a la derecha y k unidades arriba.
Con transformaciones: f(x) = a|x − h| + k. El vértice se traslada a (h, k) y a controla la apertura.
Si a > 0, la V abre hacia arriba. Si a < 0, abre hacia abajo.
Desplazamiento horizontal: f(x − h) desplaza h unidades a la derecha (izquierda si h < 0).
Reflexión respecto al eje x: −f(x). Reflexión respecto al eje y: f(−x).
Estiramiento/compresión vertical: a·f(x). Si |a| > 1, se estira; si |a| < 1, se comprime.
Para graficar a partir de la ecuación: hacer una tabla de valores, identificar puntos clave y aplicar transformaciones a la función base.
La clave está en memorizar las formas base y entender cómo cada parámetro modifica la gráfica. Te deseamos mucho éxito en tu Preparación Saber 11.
Este tema se evalúa constantemente en la prueba Saber 11 del ICFES.
A continuación se presentan las familias de funciones más importantes, sus ecuaciones y las características visuales que permiten identificarlas en una gráfica.
Función lineal
Ecuación: f(x) = mx + b. Gráfica: una línea recta.m (pendiente) controla la inclinación. b (intercepto y) indica dónde cruza el eje vertical.
Si m > 0, la recta sube. Si m < 0, baja. Si m = 0, es horizontal (función constante).
Función cuadrática
Ecuación: f(x) = ax² + bx + c. Gráfica: una parábola.Si a > 0, la parábola abre hacia arriba (tiene un mínimo). Si a < 0, abre hacia abajo (tiene un máximo).
El vértice está en x = −b/(2a). Las raíces (donde cruza el eje x) se hallan con la fórmula general o factorizando.
Forma canónica: f(x) = a(x − h)² + k, donde (h, k) es el vértice. Esta forma facilita graficar la parábola.
Ejemplo: f(x) = 2(x − 3)² − 8. Vértice: (3, −8). Abre hacia arriba (a = 2 > 0). Raíces: 2(x − 3)² = 8 → (x − 3)² = 4 → x = 1 y x = 5.
Función exponencial
Ecuación: f(x) = a·bˣ. Si b > 1, la función crece exponencialmente. Si 0 < b < 1, decrece.Siempre tiene asíntota horizontal en y = 0 (nunca toca el eje x). El punto (0, a) es siempre parte de la gráfica.
Ejemplo: f(x) = 3·2ˣ. En x = 0: f(0) = 3. En x = 3: f(3) = 24. El crecimiento se acelera cada vez más.
Función logarítmica
Ecuación: f(x) = log_b(x). Es la inversa de la exponencial.Dominio: x > 0. Rango: todos los reales. Tiene asíntota vertical en x = 0.
Pasa por el punto (1, 0) siempre, ya que log_b(1) = 0. Crece lentamente comparada con las polinómicas.
Función raíz cuadrada
Ecuación: f(x) = √x. Dominio: x ≥ 0. Rango: y ≥ 0.La gráfica es una media parábola que crece cada vez más despacio. Pasa por (0, 0) y (1, 1).
Con transformaciones: f(x) = √(x − h) + k desplaza la gráfica h unidades a la derecha y k unidades arriba.
Función valor absoluto
Ecuación: f(x) = |x|. Gráfica: forma de V con vértice en el origen.Con transformaciones: f(x) = a|x − h| + k. El vértice se traslada a (h, k) y a controla la apertura.
Si a > 0, la V abre hacia arriba. Si a < 0, abre hacia abajo.
Transformaciones de funciones
Desplazamiento vertical: f(x) + k sube la gráfica k unidades (baja si k < 0).Desplazamiento horizontal: f(x − h) desplaza h unidades a la derecha (izquierda si h < 0).
Reflexión respecto al eje x: −f(x). Reflexión respecto al eje y: f(−x).
Estiramiento/compresión vertical: a·f(x). Si |a| > 1, se estira; si |a| < 1, se comprime.
De gráfica a ecuación y viceversa
Para identificar la función a partir de la gráfica: observar la forma general (recta, parábola, exponencial, V), localizar puntos clave (vértice, interceptos, asíntotas) y deducir los parámetros.Para graficar a partir de la ecuación: hacer una tabla de valores, identificar puntos clave y aplicar transformaciones a la función base.
Cierre
Reconocer las familias de funciones y sus transformaciones permite pasar fluidamente entre ecuaciones y gráficas, una habilidad que se evalúa repetidamente en problemas de opción múltiple.La clave está en memorizar las formas base y entender cómo cada parámetro modifica la gráfica. Te deseamos mucho éxito en tu Preparación Saber 11.