Expresiones algebraicas
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Las expresiones algebraicas son el lenguaje con el que se escriben relaciones matemáticas usando letras, números y operaciones.
Saber manipularlas es esencial en las Pruebas Nacionales del MINERD.
Aparecen frecuentemente en problemas de simplificación, factorización y resolución de ecuaciones.
A continuación se presentan las técnicas fundamentales para trabajar con expresiones algebraicas de forma eficiente.
Un monomio tiene un solo término. Un binomio tiene dos. Un trinomio tiene tres. Y un polinomio es cualquier expresión con uno o más términos.
Dos términos son semejantes cuando tienen exactamente las mismas variables con los mismos exponentes. Solo los términos semejantes se pueden sumar o restar.
Ejemplo: 4x² + 3x − 2x² + x = (4x² − 2x²) + (3x + x) = 2x² + 4x.
Cuadrado de un binomio: (a + b)² = a² + 2ab + b². El diagrama muestra cómo el área total del cuadrado de lado (a + b) se descompone en cuatro regiones.
Diferencia de cuadrados: (a + b)(a − b) = a² − b². Esta identidad es clave para factorizar expresiones como x² − 9 = (x + 3)(x − 3).
Producto de binomios (FOIL): (x + m)(x + n) = x² + (m + n)x + mn. Se multiplica cada término del primer paréntesis por cada término del segundo.
Factor común: Se extrae el factor que comparten todos los términos. Ejemplo: 6x³ + 9x² = 3x²(2x + 3).
Diferencia de cuadrados: a² − b² = (a + b)(a − b). Ejemplo: 25y² − 16 = (5y + 4)(5y − 4).
Trinomio cuadrado perfecto: a² + 2ab + b² = (a + b)². Ejemplo: x² + 10x + 25 = (x + 5)².
Trinomio de la forma x² + bx + c: Se buscan dos números que sumen b y multipliquen c. Ejemplo: x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4), porque 3 + 4 = 7 y 3 × 4 = 12.
Ejemplo: 3x − 7 = 14. Se suma 7 a ambos lados: 3x = 21. Se divide entre 3: x = 7.
Cuando hay paréntesis, primero se distribuye. Ejemplo: 2(x + 4) − 3 = 11 → 2x + 8 − 3 = 11 → 2x + 5 = 11 → 2x = 6 → x = 3.
Para ecuaciones con la variable en ambos lados, se agrupan los términos con variable de un lado y los constantes del otro.
Por factorización: Si el trinomio se factoriza, se iguala cada factor a cero. Ejemplo: x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2 o x = 3.
Fórmula general: x = [−b ± √(b² − 4ac)] / (2a). Funciona siempre.
Ejemplo: 2x² + 3x − 5 = 0. a = 2, b = 3, c = −5. Discriminante: 9 − 4(2)(−5) = 9 + 40 = 49. x = (−3 ± 7)/4. Soluciones: x = 1 y x = −5/2.
El discriminante (b² − 4ac) indica cuántas soluciones reales hay: positivo → dos soluciones, cero → una solución, negativo → ninguna solución real.
Sustitución: Se despeja una variable de una ecuación y se reemplaza en la otra. Ejemplo: si x + y = 10 y 2x − y = 5, de la primera y = 10 − x. Se sustituye: 2x − (10 − x) = 5 → 3x = 15 → x = 5, y = 5.
Eliminación: Se suman o restan las ecuaciones para cancelar una variable. Ejemplo: 3x + 2y = 12 y x − 2y = 4. Sumando: 4x = 16 → x = 4. Sustituyendo: 4 − 2y = 4 → y = 0.
La clave está en reconocer patrones: productos notables para expandir, técnicas de factorización para simplificar y métodos sistemáticos para resolver ecuaciones. Te deseamos mucho éxito en tu preparación para las Pruebas Nacionales.
Saber manipularlas es esencial en las Pruebas Nacionales del MINERD.
Aparecen frecuentemente en problemas de simplificación, factorización y resolución de ecuaciones.
A continuación se presentan las técnicas fundamentales para trabajar con expresiones algebraicas de forma eficiente.
Términos y clasificación
Un término algebraico es un producto de un número (coeficiente) por una o más variables elevadas a exponentes enteros. Ejemplos: 3x², −5ab, 7.Un monomio tiene un solo término. Un binomio tiene dos. Un trinomio tiene tres. Y un polinomio es cualquier expresión con uno o más términos.
Dos términos son semejantes cuando tienen exactamente las mismas variables con los mismos exponentes. Solo los términos semejantes se pueden sumar o restar.
Ejemplo: 4x² + 3x − 2x² + x = (4x² − 2x²) + (3x + x) = 2x² + 4x.
Productos notables
Existen patrones de multiplicación que aparecen con tanta frecuencia que conviene memorizarlos.Cuadrado de un binomio: (a + b)² = a² + 2ab + b². El diagrama muestra cómo el área total del cuadrado de lado (a + b) se descompone en cuatro regiones.
Diferencia de cuadrados: (a + b)(a − b) = a² − b². Esta identidad es clave para factorizar expresiones como x² − 9 = (x + 3)(x − 3).
Producto de binomios (FOIL): (x + m)(x + n) = x² + (m + n)x + mn. Se multiplica cada término del primer paréntesis por cada término del segundo.
Factorización
Factorizar es el proceso inverso de expandir: consiste en reescribir una expresión como producto de factores más simples.Factor común: Se extrae el factor que comparten todos los términos. Ejemplo: 6x³ + 9x² = 3x²(2x + 3).
Diferencia de cuadrados: a² − b² = (a + b)(a − b). Ejemplo: 25y² − 16 = (5y + 4)(5y − 4).
Trinomio cuadrado perfecto: a² + 2ab + b² = (a + b)². Ejemplo: x² + 10x + 25 = (x + 5)².
Trinomio de la forma x² + bx + c: Se buscan dos números que sumen b y multipliquen c. Ejemplo: x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4), porque 3 + 4 = 7 y 3 × 4 = 12.
Ecuaciones lineales
Una ecuación lineal tiene la forma ax + b = c. Se resuelve aislando la variable con operaciones inversas.Ejemplo: 3x − 7 = 14. Se suma 7 a ambos lados: 3x = 21. Se divide entre 3: x = 7.
Cuando hay paréntesis, primero se distribuye. Ejemplo: 2(x + 4) − 3 = 11 → 2x + 8 − 3 = 11 → 2x + 5 = 11 → 2x = 6 → x = 3.
Para ecuaciones con la variable en ambos lados, se agrupan los términos con variable de un lado y los constantes del otro.
Ecuaciones cuadráticas
Una ecuación cuadrática tiene la forma ax² + bx + c = 0. Las tres formas principales de resolverla son:Por factorización: Si el trinomio se factoriza, se iguala cada factor a cero. Ejemplo: x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2 o x = 3.
Fórmula general: x = [−b ± √(b² − 4ac)] / (2a). Funciona siempre.
Ejemplo: 2x² + 3x − 5 = 0. a = 2, b = 3, c = −5. Discriminante: 9 − 4(2)(−5) = 9 + 40 = 49. x = (−3 ± 7)/4. Soluciones: x = 1 y x = −5/2.
El discriminante (b² − 4ac) indica cuántas soluciones reales hay: positivo → dos soluciones, cero → una solución, negativo → ninguna solución real.
Sistemas de ecuaciones
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se puede resolver por sustitución o eliminación.Sustitución: Se despeja una variable de una ecuación y se reemplaza en la otra. Ejemplo: si x + y = 10 y 2x − y = 5, de la primera y = 10 − x. Se sustituye: 2x − (10 − x) = 5 → 3x = 15 → x = 5, y = 5.
Eliminación: Se suman o restan las ecuaciones para cancelar una variable. Ejemplo: 3x + 2y = 12 y x − 2y = 4. Sumando: 4x = 16 → x = 4. Sustituyendo: 4 − 2y = 4 → y = 0.
Cierre
Dominar las expresiones algebraicas te permite simplificar, factorizar y resolver ecuaciones con confianza.La clave está en reconocer patrones: productos notables para expandir, técnicas de factorización para simplificar y métodos sistemáticos para resolver ecuaciones. Te deseamos mucho éxito en tu preparación para las Pruebas Nacionales.