Relaciones lineales, afines y razones de cambio
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Las funciones lineales y afines modelan situaciones donde el cambio ocurre a ritmo constante: velocidades, tarifas, conversiones y tendencias.
Comprender pendientes, ecuaciones de rectas y razones de cambio es esencial en las Pruebas Nacionales del MINERD.
A continuación se presentan los conceptos clave para trabajar con relaciones lineales y analizar cómo cambian las cantidades.
Fórmula: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁), usando dos puntos cualesquiera de la recta.
Si m > 0, la recta sube (creciente). Si m < 0, baja (decreciente). Si m = 0, es horizontal. Si m es indefinida, es vertical.
Ejemplo: Pendiente entre A(1, 3) y B(4, 9): m = (9 − 3)/(4 − 1) = 6/3 = 2. Por cada unidad que x avanza, y sube 2.
Forma punto-pendiente: y − y₁ = m(x − x₁), útil cuando se conoce un punto y la pendiente.
Forma general: Ax + By + C = 0. Todo coeficiente es un número real.
Ejemplo: Recta con pendiente 3 que pasa por (2, 5): y − 5 = 3(x − 2) → y = 3x − 1.
Intercepto x: se evalúa y = 0. En y = 3x − 1: 0 = 3x − 1 → x = 1/3. El intercepto x es (1/3, 0).
Con ambos interceptos se puede trazar rápidamente la gráfica de la recta.
Ejemplo: Un taxi cobra $3.000 de base más $1.200 por kilómetro. La función es C(x) = 1200x + 3000. La razón de cambio es $1.200/km (la pendiente).
En funciones no lineales, la razón de cambio promedio entre dos puntos es (f(b) − f(a))/(b − a), que es la pendiente de la recta secante.
Ejemplo lineal: f(x) = 4x (sin cargo fijo). Ejemplo afín: f(x) = 4x + 10 (con cargo fijo de 10).
Ambas tienen gráfica recta y pendiente constante, pero la afín tiene un desplazamiento vertical.
Ejemplo: La recta perpendicular a y = 2x + 5 tiene pendiente m = −1/2.
Ejemplo: En 2020 una ciudad tenía 50.000 habitantes y en 2025 tiene 65.000. Pendiente: (65000 − 50000)/(2025 − 2020) = 3000 hab/año.
Modelo: P(t) = 3000t + 50000 (donde t = 0 corresponde a 2020). Predicción para 2030: P(10) = 80.000 habitantes.
Practicar con problemas de contexto fortalece la capacidad de modelar situaciones reales. Te deseamos mucho éxito en tu preparación para las Pruebas Nacionales.
Comprender pendientes, ecuaciones de rectas y razones de cambio es esencial en las Pruebas Nacionales del MINERD.
A continuación se presentan los conceptos clave para trabajar con relaciones lineales y analizar cómo cambian las cantidades.
La pendiente de una recta
La pendiente mide la inclinación de una recta: cuánto sube o baja y por cada unidad que avanza x.Fórmula: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁), usando dos puntos cualesquiera de la recta.
Si m > 0, la recta sube (creciente). Si m < 0, baja (decreciente). Si m = 0, es horizontal. Si m es indefinida, es vertical.
Ejemplo: Pendiente entre A(1, 3) y B(4, 9): m = (9 − 3)/(4 − 1) = 6/3 = 2. Por cada unidad que x avanza, y sube 2.
Ecuación de la recta
Forma pendiente-intercepto: y = mx + b, donde m es la pendiente y b es el intercepto con el eje y (el punto donde x = 0).Forma punto-pendiente: y − y₁ = m(x − x₁), útil cuando se conoce un punto y la pendiente.
Forma general: Ax + By + C = 0. Todo coeficiente es un número real.
Ejemplo: Recta con pendiente 3 que pasa por (2, 5): y − 5 = 3(x − 2) → y = 3x − 1.
Interceptos
Intercepto y: se evalúa x = 0 en la ecuación. En y = 3x − 1, el intercepto y es (0, −1).Intercepto x: se evalúa y = 0. En y = 3x − 1: 0 = 3x − 1 → x = 1/3. El intercepto x es (1/3, 0).
Con ambos interceptos se puede trazar rápidamente la gráfica de la recta.
Razón de cambio
La razón de cambio mide cuánto cambia una cantidad respecto a otra. En una relación lineal, la razón de cambio es constante e igual a la pendiente.Ejemplo: Un taxi cobra $3.000 de base más $1.200 por kilómetro. La función es C(x) = 1200x + 3000. La razón de cambio es $1.200/km (la pendiente).
En funciones no lineales, la razón de cambio promedio entre dos puntos es (f(b) − f(a))/(b − a), que es la pendiente de la recta secante.
Función afín vs. función lineal
Una función lineal pasa por el origen: f(x) = mx (b = 0). Una función afín no necesariamente: f(x) = mx + b (b ≠ 0).Ejemplo lineal: f(x) = 4x (sin cargo fijo). Ejemplo afín: f(x) = 4x + 10 (con cargo fijo de 10).
Ambas tienen gráfica recta y pendiente constante, pero la afín tiene un desplazamiento vertical.
Rectas paralelas y perpendiculares
Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente: m₁ = m₂. Son perpendiculares si m₁ × m₂ = −1.Ejemplo: La recta perpendicular a y = 2x + 5 tiene pendiente m = −1/2.
Modelado con funciones lineales
Para crear un modelo lineal a partir de datos: se identifican dos puntos, se calcula la pendiente y se escribe la ecuación.Ejemplo: En 2020 una ciudad tenía 50.000 habitantes y en 2025 tiene 65.000. Pendiente: (65000 − 50000)/(2025 − 2020) = 3000 hab/año.
Modelo: P(t) = 3000t + 50000 (donde t = 0 corresponde a 2020). Predicción para 2030: P(10) = 80.000 habitantes.
Cierre
Las relaciones lineales son el modelo más simple y frecuente para describir cambios constantes. La pendiente cuantifica la intensidad del cambio y la ecuación de la recta permite hacer predicciones.Practicar con problemas de contexto fortalece la capacidad de modelar situaciones reales. Te deseamos mucho éxito en tu preparación para las Pruebas Nacionales.